الزمرة الناظمية


تعريف 1 : لتكن H زمرة جزئية من الزمرة G. نقول أنH زمرة جزئية ناظمية منG إذا كان ghg^{ - 1} \in H لكل g \in G وh \in H , ونكتب H \triangleleft G للتعبير على أن H زمرة ناظمية من G.

يتضح من هذا التعريف مباشرة ان

• كل زمرة ناظمية من نفسها G \triangleleft G . كذلك\{ e\} \triangleleft G حيث e محايد الزمرة.

• إذا كانت H زمرة جزئية من زمرة ابدالية G فإن H زمرة ناظمية. ذلك لأن

ghg^{ - 1} = g * (h * g^{ - 1} ) = g * (g^{ - 1} * h) = (g * g^{ - 1} ) * h = e * h \in H

ربما يختلف تعريف الزمرة النظامية من مرجع لآخر لكنه اختلاف لفظي لأن هذه التعاريف متكافئة كما تبين الحقيقة التالية والتي نترك إثباتها كتمرين.

حقيقة 1: إذا كانتH زمرة جزئية من الزمرة G فإن التقارير التالية متكافئة.
1. ghg^{ - 1} \in H لكلg \in G وh \in H.

2. gHg^{ - 1} = H لكلg \in G, حيث gHg^{ - 1} = \{ ghg^{ - 1} :h \in H\} .
3. gH = Hg لكلg \in G.

4. لأي a,b \in G, ab^{ - 1} \in H إذا وفقط إذا a^{ - 1} b \in H.


نظرية1: إذا كانت H زمرة جزئية من زمرة G بحيث \left[ {G:H} \right] = 2فإنH زمرة ناظمية من G.

الإثبات: ليكن g عنصر اختياري من G\backslash H . كلا من H,gH و H,Hg يمثلان تجزيء للمجموعة G . إذا gH = Hg . وحيث أن aH = Ha لكل a \in H فإن

gH = Hg \;\;{\rm{ for all }}\;\; g \in G

وهذا يثبت أنH زمرة ناظمية من G.

تمارين
1. إذا كانت H,K زمرتين جزئيتين ناظميتين من الزمرة G فإنH \cap K \triangleleft G . بشكل عام تقاطع عدد من الزمر الجزئية الناظمية من G هو زمرة ناظمية من G.

2. أثبت صحة الحقيقة 1 باستخدام اقتضاء مغلق مثل
2 \Rightarrow 3 \Rightarrow 4 \Rightarrow 1 \Rightarrow 2

3. زمرة التباديل A_n ناظمية في S_n .



المراجع

1. نظرية الزمر , سلسلة ملخصات شوم.

2. A Course on Group Theory, J.S. Rose